Cubrimiento del Círculo

En los Parques de Diversiones es muy común encontrarse con juegos de azar, de destreza óculo-manual y con problemas que retan a los asistentes. Uno de éstos tiene que ver con el cubrimiento del círculo. Este problema consiste en cubrir un círculo con cinco círculos de menor diámetro (de medidas preestablecidas). Quienes aceptan el reto tienen una sola oportunidad, es decir, no les es permitido mover los círculos después de haberlos colocado.
Sin embargo, aquí haremos más que eso.
También es muy común que los que intentan resolver el problema del cubrimiento (en el Parque de Diversiones) fallen (indague esto entre los miembros del grupo y entre sus familiares). Nos proponemos aquí explorar con más detalle este problema.
Aunque, como veremos, quizá no garantice que obtengamos un premio en el Parque.
La intención es cubrir C con los cinco círculos como se muestra en la figura anterior.

Algunos “errores” comunes

El siguiente gráfico ilustra una de las formas que puede darse en la práctica en la que no se cubre el círculo dado:
Observe que hemos sombreado la región del círculo C que no es cubierta por los cinco círculos.

Investigación (1)

Para iniciar la investigación construya (con papel o cartulina) un círculo de 15 cm de diámetro y cinco círculos de 9 cm de diámetro. Escoja un color para el círculo de mayor diámetro y otro para los demás círculos.
Trate de cubrir a C.
Discuta con el grupo sus resultados.

(1) ¿Por qué no puede cubrirse C?
(2) ¿Qué condiciones deben cumplir los círculos de menor diámetro para cubrir a C?
(3) ¿Qué conclusiones aporta?

Investigación (2)

Sabemos que aumentando el diámetro de los círculos “pequeños” será posible cubrir a C. la pregunta central es ¿Cuál es el mínimo valor del diámetro de los círculo pequeños de manera que pueda cubrir a C? Esto nos dirá también el valor por debajo del cual será imposible realizar esta tarea.
Observe que si inscribimos un pentágono regular en C, los puntos (que etiquetamos con P1, P2, P3, P4 y P5) en los cuales se intersecan la circunferencia y el pentágono aportan una idea de cómo puede cubrirse a C (vea el gráfico adjunto).
Las circunferencias de diámetro menor se intersecan precisamente en P1, P2, P3, P4 y P5 y en el punto O (origen de C).
[Este gráfico fue construido con el programa CABRI-GÉOMÈTRE II]

(4) ¿Cuál es la medida del diámetro de las circunferencia pequeñas?
(5) ¿Cómo determinar el origen de una de las circunferencias pequeñas?
Entre los conceptos y construcciones relacionadas con las investigaciones previas se encuentran los siguientes:
- Circunferencia
- Círculo
- Polígono regular
- Radio, Diámetro
- Construcción con regla y compás de:
(a) Una recta paralela a una recta dada
(b) Una perpendicular a una recta dada
(c) Punto medio de un segmento dado y también,
(d) Determinar el centro de una circunferencia.