Calificaciones del curso Geometría I

En la tabla adjunta se encuentran las calificaciones del curso Geometría I (2008-II). Éstas ya son las definitivas, luego de ecuchar sus observaciones de ustedes.

Además, quiero aprovechar la ocasión para expresarles que independientemente de las calificaciones obtenidas por cada uno de ustedes considero que este primer curso de Geometría abre muchas perspectivas de investigación en el seno de la Geometría Euclidea, e incluso, en la enseñanza/aprendizaje de este campo en el ámbito educativo.

Les pido a todos esforzarse cada día más, nunca hay un límite. La educación y sus alcances dependen de todos nosotros.

A todos un abrazo,

Wladimir S.G.

Teorema de Pitágoras

Cubrimiento del Círculo

En los Parques de Diversiones es muy común encontrarse con juegos de azar, de destreza óculo-manual y con problemas que retan a los asistentes. Uno de éstos tiene que ver con el cubrimiento del círculo. Este problema consiste en cubrir un círculo con cinco círculos de menor diámetro (de medidas preestablecidas). Quienes aceptan el reto tienen una sola oportunidad, es decir, no les es permitido mover los círculos después de haberlos colocado.
Sin embargo, aquí haremos más que eso.
También es muy común que los que intentan resolver el problema del cubrimiento (en el Parque de Diversiones) fallen (indague esto entre los miembros del grupo y entre sus familiares). Nos proponemos aquí explorar con más detalle este problema.
Aunque, como veremos, quizá no garantice que obtengamos un premio en el Parque.
La intención es cubrir C con los cinco círculos como se muestra en la figura anterior.

Algunos “errores” comunes

El siguiente gráfico ilustra una de las formas que puede darse en la práctica en la que no se cubre el círculo dado:
Observe que hemos sombreado la región del círculo C que no es cubierta por los cinco círculos.

Investigación (1)

Para iniciar la investigación construya (con papel o cartulina) un círculo de 15 cm de diámetro y cinco círculos de 9 cm de diámetro. Escoja un color para el círculo de mayor diámetro y otro para los demás círculos.
Trate de cubrir a C.
Discuta con el grupo sus resultados.

(1) ¿Por qué no puede cubrirse C?
(2) ¿Qué condiciones deben cumplir los círculos de menor diámetro para cubrir a C?
(3) ¿Qué conclusiones aporta?

Investigación (2)

Sabemos que aumentando el diámetro de los círculos “pequeños” será posible cubrir a C. la pregunta central es ¿Cuál es el mínimo valor del diámetro de los círculo pequeños de manera que pueda cubrir a C? Esto nos dirá también el valor por debajo del cual será imposible realizar esta tarea.
Observe que si inscribimos un pentágono regular en C, los puntos (que etiquetamos con P1, P2, P3, P4 y P5) en los cuales se intersecan la circunferencia y el pentágono aportan una idea de cómo puede cubrirse a C (vea el gráfico adjunto).
Las circunferencias de diámetro menor se intersecan precisamente en P1, P2, P3, P4 y P5 y en el punto O (origen de C).
[Este gráfico fue construido con el programa CABRI-GÉOMÈTRE II]

(4) ¿Cuál es la medida del diámetro de las circunferencia pequeñas?
(5) ¿Cómo determinar el origen de una de las circunferencias pequeñas?
Entre los conceptos y construcciones relacionadas con las investigaciones previas se encuentran los siguientes:
- Circunferencia
- Círculo
- Polígono regular
- Radio, Diámetro
- Construcción con regla y compás de:
(a) Una recta paralela a una recta dada
(b) Una perpendicular a una recta dada
(c) Punto medio de un segmento dado y también,
(d) Determinar el centro de una circunferencia.

Libros propuestos: Una selección

MARTINS RODRÍGUES ALEXANDRE AUGUSTO (1.966). Álgebra linear e geometría euclideana. Sao Paulo: L.P.M. [texto base]


ORELLANA CHACÍN MAURICIO y ENNODIO TORRES (1.987). Geometría (Tomos I y II). Caracas: Universidad Nacional Abierta.
ARTZY RAFAEL (1.965). Linear geometry. Massachusetts: Addison Wesley.
MOISE EDWIN E. y DOWNS FLOYD L., Jr. (1.986). Geometría moderna. México: Addison-Wesley Iberoamericana.
ALAVEZ ENRIQUE MARTÍN. (1.987). Álgebra lineal. La Habana: Pueblo y Educación.
DUARTE JOSÉ FRANCISCO. (1.945). Sobre las geometrías no euclidianas. Notas históricas y bibliográficas. Caracas: Boletín de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales, t. IX, No 26, p.3-67.
DUARTE JOSÉ FRANCISCO. (1.951). Réplica al estudio “El Postulado de Euclides” del señor Hernando Lleras Franco. Caracas: Tipografía Americana. [También en: Boletín de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales, No 40].

Programas consultados:

Amoretti Nieves (1.999). Programa del curso Geometría Lineal. IPM “José Manuel Siso Martínez”: Especialidad Matemática.
Tovar Nelson (2.000). Información general sobre el curso Geometría y Álgebra Lineal. Instituto Pedagógico de Caracas: Maestría en Educación, Mención Enseñanza de la Matemática.

Geometría y Álgebra Lineal: Una descripción del curso

El curso GEOMETRÍA LINEAL representa un espacio para mostrar la construcción de un modelo de la Geometría Euclideana a través del Álgrebra Lineal. Las nociones de Espacio Vectorial sirven de base para esta construcción, aunque sólo se consideran Espacios Vectoriales de dimensión finita y sobre el cuerpo R de números reales (con la intención de simplificar la exposición), la teoría obtenida puede extenderse con muy poco trabajo adicional. El enfoque algebraico de la geometría aporta muchas ventajas al tratamiento de las nociones e ideas de esta última, hasta el punto de constituir un método muy difundido en la enseñanza en distintos niveles de formación.
Por otra parte, resultados de la GEOMETRÍA LINEAL son imposibles de obtener a través de otros enfoques dados a la Geometría, mencionemos sólo uno: la demostración del V Postulado de Euclides, EL POSTULADO DE LAS PARALELAS, como un resultado particular de una proposición referida a una idea mucho más general. Demostración que buscaron sin hallarla notables matemáticos a partir de Euclides (Aprox. Año 300 antes de Cristo) y que condujo al nacimiento y desarrollo de otras Geometrías (ya para los siglos XVIII y XIX).
Este curso se concibe con un nivel de profundización de la formación matemática de los estudiantes de la especialidad matemática del Instituto Pedagógico de Miranda, entendido éste como la aplicación de las herramientas que aporta el Álgebra Lineal en la construcción de una teoría geométrica: la GEOMETRÍA LINEAL, también conocida como GEOMETRÍA AFÍN o GEOMETRÍA Y ÁLGEBRA LINEAL.

Évariste Galois (25-10-1811 en Bourg La Reine / 31-5-1832 en París): Un destacado algebrista

Évariste Galois sólo tuvo cinco años de actividad científica, la cual se dio paralelamente a su práctica política de ardiente revolucionario en el turbulento París de 1830. A pesar de ser muy buen conocedor de las matemáticas de entonces (a los 16 años de edad), no pudo ingresar a la Escuela Politécnica. Posteriormente, se extravió una memoria que presentó a la Academia en manos de Cauchy, y fue rechazado nuevamente de la Escuela Politécnica.
Entre 1829 y 1830 dio a conocer sus primeros trabajos sobre fracciones continuas, temas de análisis, teoría de las ecuaciones y teoría de números, y un resumen de una segunda memoria presentada ante la Academia para optar al gran premio de matemática –que no obtuvo. Al año siguiente fue expulsado de la Escuela Normal, por estar involucrado en los sucesos políticos. Decidió entonces dedicarse a la educación privada al anunciar un curso de álgebra superior sobre “Una nueva teoría de los números imaginarios, la teoría de las ecuaciones resolubles por radicales, la teoría de números y la teoría de las funciones elípticas, tratadas por álgebra pura”. Este curso no tuvo oyentes. Entonces Galois ingresó al ejército; tiempo en el que culminó una memoria (hoy conocida como Teoría de Galois), calificada de “incomprensible” por Poisson.
Estuvo cerca de un año en la cárcel. Al quedar en libertad, se vio envuelto en una disputa por defender el honor de una mujer y murió en el duelo.
Esa noche escribió a su amigo Auguste Chevalier:

"He hecho algunos descubrimientos nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teoría de ecuaciones he investigado las condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido ocasión de profundizar en esta teoría y describir todas las transformaciones posibles en una ecuación, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede verse aquí, en tres memorias. Haz petición pública a Jacobi o a Gauss para que den su opinión, no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confío en que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo".

Ese “embrollo” es hoy la Teoría de Grupos.